1.关于定理
笔者作为一个棋类，尤其是象棋的爱好者，特别喜欢钻研下棋的一些套路。然而，随着计算机算力的提高，AI技术的发展，人类逐渐开始下不过人工智能。尚在2006年，象棋特级大师许银川还能勉强战胜当时比较强大的电脑浪潮天梭，之后战胜电脑就逐渐成了绝唱，发展到现在，即使运行在普通PC机上的《象棋名手》软件，也不是象棋世界冠军可以抗衡的。2017年，柯洁0:3负于阿尔法狗，也标志者围棋，这一棋类智力之冠的胜利也归人工智能所有。那么，我们可以很自然地想到，会不会有一天,不需要开下，只要棋一摆好，双方就能知道哪一方胜利呢?这在理论上是可行的。策梅略定理（Zermelo’s theorem）是博弈论的一条定理,以恩斯特●策梅洛命名。定理表示在二人的有限游戏中，如果双方皆拥有完全的资讯，并且运气因素并不牵涉在游戏中，那先行或后行者当中必有一方有必胜/必不败的策略（注意，也包括平局)。策梅洛定理的论文于1913年以德文发表。
策梅洛定理仅在双人游戏中有效，在三人及以上的多人游戏中胜负仍是不确定的。定理的具体表现形式，满足条件：
- 双方依次行动
- 有限步，不会出现可以一直重复某种循环的状态
- 信息完备，双方均知道先前的步骤且没有隐藏的机制
- 仅有赢、输、平局三种结局
在满足以上四种条件的情况下，只会出现以下情况之一
- 先走方有必胜的走法
- 两者的最优策略会导向平局
- 后走方有必胜的走法
满足情况3：“后走方有必胜的走法”，需要规则内不能有停止行动的选项，否则先手方的最优策略是停一回合，成为实际上的后手方，那么此时后手方的最优解也是停一回合。如果能无限停止，将不满足条件2，如果不能无限停止，将导向情况2。
对于策梅洛定理的证明，可以采用数学归纳法证明。假设结束所需的回合数n。n=1,即一步就能游戏结束，那么一定会导致先手必胜/负/和的局面。现在对于任何一个n>1的值，行动后将转换为一个n-1时的情况，而这时的结果是已知的。因为对于此时先手方行动的情况，必然是以下三种互斥的情况之一：
- 存在行动方案使得之后的状态为先手方有必胜策略，那么此时先手有必胜策略；
- 所有的行动方案都使得之后的状态为后手方有必胜策略，那么此时后手方有必胜策略；
- 不存在行动方案使得之后的状态为先手方有必胜策略，且存在行动方案使得之后的状态为双方有不败的策略，那么此时有双方不败的策略。
编程上，如果有类似状况，一般使用记忆化搜索的方式应用。
2.已得到验证的游戏
经典井字棋
经典的3x3井字棋就是一个典型的双方不败游戏。为了增加点代入感，我们先手用○，后手用×来表示吧。 ○的第一步行动为走正中，此时×必须走角落，否则○将必胜：因为○第二步走对位的角落，那么×在堵的过程中会出现堵不上的情况：
由于井字棋上下左右对称，×走四个位置都会触发以上情况。
另一种情况，如果第二步×走角落，那么无论○下一步怎么走，×都可以阻止其连成三个，直至下满，双方和棋。
无禁手规则的五子棋
禁手：五子棋术语，指对局中禁止先行一方(黑方)使用的战术，具体包括黑方一子落下时同时形成双活三、双四或长连等三种棋形。禁手只对黑方有效，白方无禁手。黑方禁手的位置称为禁手点。
五子棋在很早的时候，就已经有前人研究出了无禁手规则下先手必胜的情况。对于白棋的应对不同，开局可以分为蒲月、寒星、新月等，但是所有的开局，无论白棋如何防备，只要黑方不下错，都不能阻止黑棋胜利。因此，五子棋赛场上都对先手方有很大的限制。日常下棋达不到那么高的水平，但是一般也能感觉到黑棋优势较大。
五子棋执黑必胜的变招相当多，读者感兴趣可以自行了解，这里只列举其中的蒲月开局：
黑棋正中开局，白棋下在斜线，黑棋再下在3的位置，对此，白棋可以有很多种应对方法：
其中最后一幅图为白棋最强防守，但是黑方可以选择：
后招可以参考https://wenku.so.com/d/df91d9b58a3c207002ada61806fee442。
双人取物游戏
地上摆放了80个物品，每人每次可以取1至4个，双方轮流取物，取到最后一个者胜利，那么某一方是否有必胜策略？后手方必胜。先手方取X个时，后手方取5-X个，这样每个回合两人加起来都为五个，而5是80的公约数。这类游戏可以拓展到一般形式：地上摆放了X个物品，每人每次可以取Y至Z个，取到最后一个者胜利。那么如果X是Y+Z的公倍数，后手方必胜，每次先手方取s个时，后手方取Y+Z-s个。如果X不是Y+Z的公倍数，先手方必胜，先手方先取X除以Y+Z的余数个，转换为前一情况的后手方，执行前一情况的必胜策略。如果做过编程类题目，应该对此不陌生。
WU游戏
确切地说，这个并没有被证实，只是我对此比较感兴趣，想找出有没有一方必胜的方式（按照策梅洛定理，应该是有的）。灵感来自于侯世达著的《哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异壁之大成》一书中的WU谜题。设置游戏规则如下：
初始给定”WUWU”字符串，两人参与，双方轮流设计一条规则。
规则设置方式：
1.假定α,β分别为一至三个任意字母。
2.条件项选其一：如果字符串中有α/以α开头/以α结尾。
执行项选其一：可以将其删除并在原位置添加β/在串尾添加β/在串首添加β。
每设定一条规则，将会按顺序执行所有的规则直至字符串不再发生改变，转移到下一个人设定。如果设定规则与之前某规则冲突，则删除之前的规则。不能设置无限递归规则。
胜利条件：清空字符串者立即获得胜利，连续两回合将字符串变成同样的全相同字母者获得胜利。
3.定理的思考
策梅略定理对积分制是否有效?
由于定理的前提条件是结局仅有胜、负、和三种可能，那么把积分设定为：分高者胜，双方同分则平局。那么，定理仍然是有效的。 如果规则机制中会允许执行某些步骤会导致暂时导向分数降低，但是一定步骤后会收束为分数比常规增加更高的情况，按数学归纳法，这类情况可以成为一个集合，从而将其看做一个步骤，这个步骤集由于更优会取代其它的步骤集合。许多游戏也可以视为积分制，比如象棋设置胜利为10000分，开局双方0分，每下一步都为局势评分，就像现在的象棋打分软件，一些弃子攻杀的步骤也会先打低分再打高分。策梅洛定理对二人以上博弈为什么无效？
假设三人A、B、C游戏，游戏设定为一方胜利另两方败，或者三人平局。如果按A、B、C的顺序依次执行，如果A有必胜策略，那么把B、C的行动组合，将其看做一个两次行动的对手，从而变成两人形式，似乎可行？但是如果A只有必和策略，那么情况就不太确定了，作为理性人B、C采取的对自己的最优策略，但是由于只有一个胜利者，这个策略合起来不一定是最优的，可能不会导致趋向于平局。其实我也不太确定，以上只是一点推论，不一定正确。证明结论成立到找出结果需要多少努力？
对于一些简单游戏来说不难，但是对目前的“大棋”很难，按对局的变化数来说，围棋的棋盘就有2^361种可能(再减去气中有子的情况)，再加上每一步的可能性，目前的算力要花费数十亿年计算。穷举既然不可行，那么只能寄托于数学家、科学家们、围棋大师们能不能找到合适的算法了。对这个定理来说，虽然我们或许目前不能找到一方必胜或必和的方式是怎样的，但是我们能证明它存在也是有意义的，或许日后会有应用前景。就像密码学中的零知识证明，A方在不透露任何知识的情况下让B方相信A掌握了这个知识，也有其应用场景，如数字签名。
策梅洛定理属于博弈论的其中一个环节，笔者虽然没有系统学过博弈论的课程，但是对博弈论有一定的兴趣和研究。如果读者也对这些感兴趣的话，维基百科上有较为详尽的博弈论内容：
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